JUHTIMISTEOORIA JA MATEMAATILISED MUDELID

 

Siin on põhjalik õppematerjal teemal „Juhtimisteooria ja matemaatilised mudelid: Lineaarsed ja mittelineaarsed süsteemid“, mis sobib hästi tööstusautomaatika, mehhatroonika või tööstuse digitehnoloogia õppesuuna kursuseks.
Materjal on jaotatud alateemadeks koos seletuste, valemite, graafiliste kontseptsioonide ja praktiliste näidetega.

JUHTIMISTEOORIA JA MATEMAATILISED MUDELID

Lineaarsed ja mittelineaarsed süsteemid

1. Juhtimisteooria alused

1.1. Juhtimissüsteemi mõiste

Juhtimissüsteem on süsteem, mis reguleerib protsessi või objekti käitumist vastavalt soovitud eesmärgile (sihtväärtusele).
Eesmärk: saavutada ja hoida soovitud seisundit hoolimata häiringutest ja muutustest.

Juhtimissüsteem koosneb tavaliselt järgmistest komponentidest:

  • Juhtimisseade (kontroller) – arvutab juhtsignaali vastavalt sisendile ja mõõdetud väljundile.

  • Juhtimisobjekt (plant, process) – füüsiline süsteem, mida juhitakse.

  • Andurid – mõõdavad süsteemi väljundit või olekut.

  • Täiturid – muudavad kontrolleri väljundsignaali füüsiliseks tegevuseks.

  • Tagasisideahel – võrdleb süsteemi väljundit soovitud väärtusega.

1.2. Juhtimissüsteemi tüübid

Tüüp Kirjeldus Näide
Avatud ahel (open-loop) Juhtimine toimub ilma tagasisideta. Pesumasin töötab kindla tsükli järgi.
Suletud ahel (closed-loop) Juhtimisel kasutatakse tagasisidet. Termostaat hoiab temperatuuri kindlal tasemel.

1.3. Juhtimissüsteemide eesmärgid

  • Täpsus (regulatsiooniviga oleks minimaalne)

  • Stabiilsus (süsteem ei võnku ega lähe ebastabiilseks)

  • Kiirus (kiire reageerimine soovitud muutusele)

  • Robustsus (häiringute ja parameetrite muutuste suhtes tundmatus)

2. Süsteemide dünaamika ja stabiilsus

2.1. Dünaamiline süsteem

Süsteemi seisund ajas sõltub sisenditest, väljunditest ja sisemistest olekutest. Seda iseloomustatakse olekumuutujatega (state variables), nagu näiteks:

  • kiirus, vool, pinge, rõhk, temperatuur jne.

2.2. Matemaatiline kirjeldus

Dünaamilisi süsteeme kirjeldatakse diferentsiaalvõrrandite abil:

    \[\frac{dx(t)}{dt} = f(x(t), u(t))\]


    \[y(t) = g(x(t), u(t))\]

kus

  • (x(t)) – olekumuutujad,

  • (u(t)) – sisendsignaalid,

  • (y(t)) – väljundsignaalid.

2.3. Stabiilsus

Süsteem on stabiilne, kui väikeste häiringute korral taastub süsteem tasakaaluseisundisse.
Matemaatiliselt:
Kui (\lim_{t \to \infty} y(t) = y_{st}) (püsiv väärtus), siis süsteem on stabiilne.

Routh–Hurwitzi kriteerium (lineaarsetele süsteemidele)

Kui kõik iseloomuliku võrrandi

    \[a_n s^n + a_{n-1} s^{n-1} + ... + a_1 s + a_0 = 0\]


juured asuvad kompleks-tasandi vasakus pooles, on süsteem stabiilne.

Lyapunovi meetod (mittelineaarsetele süsteemidele)

Kui leidub positiivne funktsioon (V(x)), mille tuletis ajas on negatiivne,

    \[\frac{dV(x)}{dt} < 0\]


siis süsteem on stabiilne.

3. Tagasiside ja selle mõju süsteemi käitumisele

3.1. Tagasisidepõhimõte

Tagasisidepõhine juhtimine võrdleb tegelikku väljundit soovitud väärtusega (viitesignaaliga) ja reguleerib sisendit vastavalt erinevusele:

    \[e(t) = r(t) - y(t)\]


    \[u(t) = K \cdot e(t)v] kus <ul> <li> (r(t)) - soovitud väärtus (setpoint), </li> <li> (y(t)) - mõõdetud väljund, </li> <li> (e(t)) - viga, </li> <li> (K) - võimendus. </li> </ul> <hr /> <h3><strong>3.2. Tagasiside mõju</strong></h3> Tagasiside vähendab viga ja muudab süsteemi stabiilsemaks, kuid liigne võimendus võib põhjustada <strong>ülekompensatsiooni</strong>ja <strong>võnkumisi</strong>. <h4><strong>Näide:</strong></h4> PID-regulaator:\[u(t) = K_P e(t) + K_I \int e(t)dt + K_D \frac{de(t)}{dt}\]

  • (K_P): proportsionaalne osa

  • (K_I): integraalne osa (vähendab püsiviga)

  • (K_D): tuletisosa (parandab reageerimist ja stabiilsust)

4. Juhtimissüsteemide karakteristikud

4.1. Ülekandefunktsioon (Transfer Function)

Lineaarse ajainvariantsüsteemi korral:

    \[G(s) = \frac{Y(s)}{U(s)}\]


kus (Y(s)) ja (U(s)) on Laplace teisendused väljundist ja sisendist.

Näide:

    \[G(s) = \frac{K}{Ts + 1}\]


kus
(K) – võimendus,
(T) – ajakonstant.

4.2. Astmeline vastus ja impulsivastus

  • Astmeline vastus (step response) – süsteemi väljund, kui sisend on astmefunktsioon.

  • Impulssivastus (impulse response) – süsteemi reaktsioon Diraci impulssile.

4.3. Sageduskarakteristik

Kirjeldab süsteemi reaktsiooni erinevate sageduste puhul:

    \[G(j\omega)\]


ja seda kujutatakse Bode diagrammina (amplituud ja faas).

5. Matemaatilised mudelid ja simulatsioonid

5.1. Modelleerimise eesmärk

Matemaatiline modelleerimine võimaldab:

  • analüüsida süsteemi käitumist enne reaalse ehitamist;

  • optimeerida juhtimisparameetreid;

  • uurida dünaamikat ja stabiilsust.

5.2. Mudelitüübid

Mudeli tüüp Kirjeldus Näide
Empiiriline Tugineb katselistele andmetele süsteemi identifitseerimine MATLABis
Analüütiline Tugineb füüsikalistele seadustele Newtoni või Kirchhoffi seadused
Simulatsioonimudel Kombineerib mõlemad Simulink, LabVIEW, Scilab, Modelica

6. Diferentsiaalvõrrandid juhtimissüsteemides

6.1. Lineaarse süsteemi üldkuju

    \[a_n \frac{d^n y}{dt^n} + a_{n-1}\frac{d^{n-1} y}{dt^{n-1}} + ... + a_1 \frac{dy}{dt} + a_0 y = b_m \frac{d^m u}{dt^m} + ... + b_0 u\]

6.2. Näide: Esimese järgu süsteem

    \[\tau \frac{dy(t)}{dt} + y(t) = K u(t)\]

Astmeline sisend annab:

    \[y(t) = K(1 - e^{-t/\tau})\]

6.3. Näide: Teise järgu süsteem

    \[\frac{d^2 y}{dt^2} + 2\xi \omega_n \frac{dy}{dt} + \omega_n^2 y = \omega_n^2 u\]

kus

  • (\omega_n) – looduslik sagedus,

  • (\xi) – summutusfaktor (damping ratio).

7. Süsteemi modelleerimine ja simulatsioonitööriistad

7.1. Peamised vahendid

Tarkvara Kasutusala
MATLAB/Simulink Diferentsiaalvõrrandite simulatsioon, PID reguleerimine
Modelica / OpenModelica Füüsikaliste süsteemide modelleerimine
LabVIEW Visuaalne süsteemide simulatsioon ja andmekogumine
Python (NumPy, SciPy, Control) Avatud lähtekoodiga simulatsioon
Scilab/Xcos Tasuta Simulinki alternatiiv

7.2. Näide: Simulatsioon Simulinkis

Eesmärk: uurida PID-regulaatori mõju temperatuuri juhtimisel.
Mudeli komponendid:

  • Soojusprotsessi ülekandefunktsioon ( G(s) = \frac{K}{Ts + 1} )

  • PID-plokk parameetritega ( K_P, K_I, K_D )

  • Step input (astmeline sisend)

  • Scope (väljundi graafik)

7.3. Näide: Pythonis (Control-biblioteek)

import control as ctl
import matplotlib.pyplot as plt

# Süsteem: G(s) = K / (Ts + 1)
K = 2
T = 5
G = ctl.tf([K], [T, 1])

# Astmeline vastus
t, y = ctl.step_response(G)
plt.plot(t, y)
plt.xlabel('Aeg (s)')
plt.ylabel('Väljund y(t)')
plt.title('Astmeline vastus')
plt.grid(True)
plt.show()

8. Lineaarsed ja mittelineaarsed süsteemid

8.1. Lineaarsed süsteemid

Omadused:

  • Superpositsiooni printsiip kehtib (sisendite ja väljundite summa käitub lineaarsetel süsteemidel ennustatavalt).

  • Parameetrid ei muutu ajas.

  • Analüüsitavad Laplace teisendusega.

Näide: RC-ahel, kus pinge ja voolu suhe on lineaarne.

8.2. Mittelineaarsed süsteemid

Omadused:

  • Superpositsiooni printsiip ei kehti.

  • Väike muutus sisendis võib anda suure muutuse väljundis.

  • Nähtused: küllastus, surnud tsoon, hüsterees, piiratud amplituud.

Näide:

  • Mootor, mille pöördemoment sõltub mittelineaarselt voolust.

  • Diodi voolu-pinge iseloom.

Mittelineaarsed süsteemid vajavad numbrilist simulatsiooni (nt Runge–Kutta meetodid).

8.3. Lineaaristamine tööpunkti ümber

Mittelineaarne süsteem ( f(x,u) ) lineaaristatakse tööpunkti ((x_0, u_0)) ümber:

    \[\frac{dx}{dt} = A(x - x_0) + B(u - u_0)\]


kus

    \[A = \left. \frac{\partial f}{\partial x} \right|<em>{x_0, u_0}, \quad B = \left. \frac{\partial f}{\partial u} \right|</em>{x_0, u_0}\]

Kokkuvõte

Teema Peamine eesmärk
Juhtimisteooria alused Mõista tagasiside ja juhtimissüsteemi põhimõtteid
Süsteemide dünaamika Analüüsida ajas muutuvat käitumist
Stabiilsus Tagada süsteemi töökindlus
Matemaatiline modelleerimine Luua täpne esitus füüsikalisele protsessile
Simulatsioon Testida ja optimeerida süsteemi enne rakendust
Lineaarsus vs mittelineaarsus Valida sobiv analüüsimeetod vastavalt süsteemi olemusele

Kas soovid, et koostan selle põhjal õppematerjali slaidid (PowerPoint / PDF formaadis) koos jooniste, valemite ja näidete visualiseeringutega (nt PID graafikud, Bode diagrammid, blokk-skeemid)?
See sobiks hästi Moodle’i kursuse „Juhtimisteooria ja matemaatilised mudelid“ visuaalseks osaks.